y=arctanx的導數是什么?

回答

瑞文問(wèn)答

2024-09-21

arctanx的導數：y=arctanx，x=tany，dx/dy=secy=tany+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tany+1)=1/(1+x)。

擴展資料

　　反函數求導法則

　　如果函數x=f(y)x=f(y)在區間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數y=f1(x)y=f1(x)在區間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，且

　　[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

　　這個(gè)結論可以簡(jiǎn)單表達為：反函數的導數等于直接函數導數的倒數。

　　例：設x=siny，y∈[π2,π2]x=siny，y∈[π2,π2]為直接導數，則y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數，求反函數的導數.

　　解：函數x=sinyx=siny在區間內單調可導，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0

　　因此，由公式得

　　(arcsinx)′=1(siny)′

　　=1cosy=11sin2y√=11x2√

　　=1cosy=11sin2y=11x2