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相等向量是共線(xiàn)向量嗎

回答
瑞文問(wèn)答

2024-08-10

兩個(gè)概念不一樣,長(cháng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量(這個(gè)不管你長(cháng)度會(huì )不會(huì )相等).表示為a∥b,任意一組平行向量都可移到同一直線(xiàn)上, 因此平行向量也叫共線(xiàn)向量。

擴展資料

  共線(xiàn)向量基本定理:

  如果a≠0,那么向量b與a共線(xiàn)的充要條件是:存在唯一實(shí)數λ,使得b=λa。

  證明:

  1)充分性:對于向量 a(a≠0)、b,如果有一個(gè)實(shí)數λ,使 b=λa,那么由實(shí)數與向量的積的定義知,向量a與b共線(xiàn)。

  2)必要性:已知向量a與b共線(xiàn),a≠0,且向量b的長(cháng)度是向量a的長(cháng)度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么當向量a與b同方向時(shí),令 λ=m,有 b=λa,當向量a與b反方向時(shí),令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那么λ=0。

  3)唯一性:如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。

  證畢。

  推論

  兩個(gè)向量a、b共線(xiàn)的充要條件是:存在不全為零的實(shí)數λ、μ,使得 λa+μb=0。

  證明:

  1)充分性,不妨設μ≠0,則由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共線(xiàn)向量基本定理 知,向量a與b共線(xiàn)。

  2)必要性,已知向量a與b共線(xiàn),若a≠0,則由共線(xiàn)向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,實(shí)數λ、μ不全為零。若a=0,則取μ=0,取λ為任意一個(gè)不為零的實(shí)數,即有 λa+μb=0。

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